Schau dazu mal bei den einschlägigen Kandidaten. Comdirect und ING bieten sowas an, ab Geburt. Falls ihr als Eltern da schon ein Konto habt, könnt ihr das Junior Depot dann über euren Zugang mit-verwalten.
Freibeträge, also Sparerpauschbetrag für die Kapitalerträge und ggf. Vorabpauschale gelten für das Kind dann selbstverständlich getrennt. Da Kinder typischerweise noch kein eigenes Einkommen haben, könnt ihr euch aber auch für jeweils 3 Jahre eine Nichtveranlagungsbescheinigung holen. Dann sind Kapitalerträge bis zum Grundfreibetrag steuerfrei, aber Achtung: Finanztip hat da einen Beitrag, schaut auch auf die Freigrenzen der Familienversicherung, die sind deutlich geringer, aber für die meisten Kinder wohl ausreichend. Aktuell wären Ca. 6000 € Kapitalerträge Pro Kalenderjahr unbürokratisch möglich.